AFC_cristal
Attention !
J'ai bien peur que vous n'ayez commencé à apprendre la cristallographie par le milieu !
Ce cours suppose que l'on ait déjà des notions élémentaires sur les réseaux et les symétries.
Il serait plus sage d'arréter ici et d'étudier d'abord les notions debase sur les réseaux cristallins. Si ce cours se révèle intéressant pour les étudiants, j'envisagerai de développer cette partie.
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Copyright Yves Epelboin, Université P.M. Curie, Paris, France, 1979-1996
Le réseau réciproque hexagonal - suite
est perpendiculaire au plan b, c.
Comme 
est contenu dans le plan a, b. De même pour b*
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Angle entre deux plans (système hexagonal)
cos φ = 0.87
φ = 29 degrés 37'
Résolvez maintenant le problème suivant:
Considérons un réseau orthorhombique (a, b et c sont différents et les angles sont ous droits). Calculez l'angle entre les plans (011) et (0 -1 1), sachant que c/b = 1,5.
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Maille multiple (à propos de ...)
Les nombres x, y, z peuvent effectivement être fractionnaires car une maille multiple contient des noeuds de coordonnées fractionnaires.
Si la raison pour laquelle vous êtes venu ici est autre, approfondissez cette question en cliquant ici.
Est-ce que le plan déterminé par les indices de Miller (hkl) est unique ?
- Oui ?
- Non ?
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Erreur!
NON ! Les deux plans ont mêmes indices de Miller car (111) et (222) sont proportionnels et nous avons vu que nous déterminions une famille de plans parallèles sans nous préoccuper d'un plan, en particulier.
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Produit scalaire
Nous allons maintenant envisager la notion de produit scalaire, dans l'espace cristallographique.
Très rapidement vous vous apercevrez si vos notions sont suffisantes, mais ne négligez pas cette question ; nombreux sont ceux qui se laissent prendre par ces notions simples.
Soit un réseau quelconque défini sur une base vectorielle sans aucune caractéristique particulière : nous appellerons a, b, c les vecteurs de cette base. Soient deux vecteurs:
.
Calculez leur produit scalaire.
Après avoir fait le calcul, cliquez ici.
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Angle entre plans réticulaires
En cristallographie on définit l'angle entre deux plans par l'angle de leurs normales, c'est-à-dire que l'on calcule l'angle entre deux rangées du réseau réciproque.
Soient deux plans d'indices de Miller (h,k,l) et h',k'l').
Les équations de leurs normales respectives sont :
On calcule alors l'angle de ces rangées comme vous avez déjà appris à le faire. La seule différence est que maintenant ce calcul s'efféctue dans le réseau réciproque.
Donc,
Pour terminer le calcul, il faut exprimer les produits scalaires entre vecteurs de la base réciproque, c'est à dire connaitre leurs normes et les angles qu'ils déterminent. Vous avez déjà appris à le faire.
Application :
Etablissez la formule qui donne l'angle entre deux plans dans un réseau hexgonal.
Si vous ne savez plus calculer les normes ni les angles entre vecteurs de la base réciproque hexagonale, rafraichissez vous la mémoire.
Lorsque vous aurez effectué ce calcul et résolu ce problème, continuez.
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Rangées - suite
Le vecteur OD, colinéaire à la rangée OD a pour composantes [111], le vecteur OF a pour composantes [222] mais ils sont supportés par une même droite. Il s'agit donc de la même rangée.
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Angle entre vecteurs dans un réseau hexagonal
On définit un vecteur colinéaire à chacune de ces deux rangées :
Comme dans l'exercice précédent, nous allons exprimer le produit scalaire de ces deux vecteurs de deux façons différentes:
Comme a = b :
J'espère que vous vous souvenez de la valeur de
.
Sinon, au revoir!
Exprimons maintenant le produit scalaire avec les normes des vecteurs :
où φ est l'angle entre V et V'.
Donc,
Est-ce vraiment compris ?
- Oui ?
- Non ?
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Réseau réciproque - résultat du calcul
Le résultat est:
Expliquons ce calcul.
b* est perpendiculaire à a puisque a.b* = 0.
De la même façon b* est perpendiculaire à c car b*.c = 0. Comme b* est perpendiculaire à la fois à ces deux vecteurs, il est parallèle à leur produit vectoriel et on peut écrire :
Comme b.b* = 1, on en déduit que:
Or,
où V est le volume de la maille.
Soit finalement
La démonstration est identique pour c*.
Si vous n'avez pas été capable de trouver vous-même ce résultat, exercez-vous en faisant le calcul complet pour c*.
Les produits scalaires qui définissent le réseau réciproque sont symétriques :
cela signifie que, connaissant a*, b*, c* le même raisonnement permet d'exprimer les vecteurs de base du réseau direct:
Calculez maintenant la relation entre le volume de la maille réciproque et celui de la maille directe. Pour cela écrivez les deux produits mixtes et regardez leurs relations.
Qu'en concluez-vous quant aux dimensions du réseau réciproque ?
- V = V*. Le réseau réciproque est une deuxième base de l'espace cristallographique .
- V = 1/V*, les dimensions du réseau réciproque sont les inverses de longueurs.
- V* est une expression compliquée de a,b,c et dépend des angles entre ces vecteurs ; les dimensions du réseau réciproque sont inverses de celle du réseau direct .
- Vous avez trouvé la solution et vous avez l'intime conviction qu'elle est juste ; le réseau réciproque est d'un grand intérêt et vous avez tout compris.
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