AFC_cristalCalcul avec les produits vectoriels
L'équation vectorielle du vecteur [110] s'écrit :
Celle du vecteur [111] est
Rappelez-vous que le produit vectoriel d'un vecteur par un autre vecteur qui lui est colinéaire est nul.
est perpendiculaire à a et à c, donc colinéaire à b. Sa longueur est égale à la surface de dimension ac.
Donc
Les normes de a et b apparaissent au dénominateur car ni a ni b ne sont unitaires. Donc :
Si vous avez des difficultés, retournez en arrière, sinon, résolvez le problème suivant :
Calculez le produit vectoriel entre [110] et [111] lorsque la base vectorielle est absolument quelconque, c'est-à-dire ni normée ni orthogonale ;
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Copyright Yves Epelboin, Université P.M. Curie, Paris, France, 1979-1996
Exact
Encore faut-il le démontrer.
De même pour b* et c*. Comme le volume de la maille est le produit mixte des vecteurs de la base et que ceux-ci sont σ2 fois plus long qu'auparavant :
Le réseau réciproque vous semble peut-être une construction purement théorique. Je vais vous montrer qu'il est d'une grande utilité dans les calculs cristallographiques.
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Distance entre plans réticulaires dans un réseau hexagonal
Tout d'abord, souvenez vous des caractèristiques du réseau réciproque hexagonal:
Donc
Les autres termes sont nuls car : cos α* = cos β* = 0
donc:
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Rangée commune à deux plans réticulaires (fin)
u = 2x2 - 3x3 = -5
v = 3x1 - 1x2 = 1
w = -1x2 + 3x1 = 1
Donc, R, la rangée recherchée, a pour indices [-511] ou [5-1-1], ce qui revient au même.
Attention ! Si les trois nombres obtenus n'avaient pas été premiers entre eux, il aurait fallu les diviser par leur plus grand commun diviseur.
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Indices de Miller - suite
Vraiment la cristallographie ne vous inspire pas ! Vous tenez vraiment trop à votre origine. Il me semble que vous devriez reprendre à sa base.
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Plan du cours
Vous pouvez parcourir ce cours depuis le début, ce que je vous conseille, ou accéder directement aux notions essentielles. Je pense que ce deuxième usage devrait être réservé à des révisions uniquement, jamais à un premier usage.
- Introduction
- Début
- Produit scalaire
- Produit vectoriel
- Réseau réciproque
- Notions sur les rangées réticulaires
- Notions sur les plans réticulaires
- Angle entre plans
- Rangée commune à deux plans
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Indices de Miller
Soient : OA = x.a
OB = y.b
OC = z.c
où x, y, z sont des entiers
Prenons leurs inverses 1/x, 1/y, 1/z et multiplions les par leur plus petit commun multiple.
On obtient trois nombres premiers entre eux h,k,l qui sont les indices de Miller du plan considéré.
Les indices de Miller d'un plan sont notés entre des parenthèses : (h,k,l).
Si vous n'aimez pas les mathématiques, sautez les quelques lignes suivantes et passez directement à la question qui est posée.
L'équation du plan ABC s'écrit
h x + k y + l z = N
Vous pouvez le vérifier aux points A, B, C ; la constante N est nulle lorsque le plan passe par l'origine.
Question : Si le repère est construit sur une maille multiple, les nombres x, y, z sont-ils toujours entiers ?
- Oui.
- Non.
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Recommencez!
Hum! Êtes-vous vraiment en train d'étudier les bases de la cristallographie géométrique ? Revenez au départ et réfléchissez bien !!!
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Produit scalaire - suite
Vous vous souvenez certainement de la définition suivante du produit scalaire de deux vecteurs 
:
Cette écriture sous-entend que le repère sur lequel les vecteurs sont exprimés est orthonormé ! Cela signifie :
- que le repère est orthogonal.
Si on développe le produit scalaire sur la base a, b, c il se simplifie puisque
Le produit scalaire se réduit donc à
- que le repère est normé.
Si le repère est normé les longueurs des vecteurs de la base sont toutes égales et prises comme unité, donc
et
Vous avez maintenant compris votre erreur ?
- Oui ?
- Non ?
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Produit vectoriel - résultat du calcul
Si la base est quelconque, il n'est pas évident d'exprimer le vecteur résultant sur la base a, b, c. et le produit vectoriel devient donc très difficile à calculer.
De plus, en cristallographie, nous ne nous intéressons qu'aux vecteurs qui pointent sur les noeuds du réseau, c'est à dire à ceux dont les composantes sont entières lorsqu'on les exprime dans une maille primitive.
A priori, le résultat du calcul 
n'a aucune chance de donner un vecteur de coordonnées entières donc le résultat n'exprime pas un vecteur de l'espace cristallographique.
Si nous revenons au résultat trouvé pour ce même exercice lorsque la base est orthogonale, nous avions trouvé :
Ce vecteur, bien que nous connaissions son expression sur la base a, b, c, n'appartient pas non plus à l'espace cristallographique, car ses composantes ne sont pas entières. Le produit vectoriel ne semble donc offrir aucun intérêt pour le cristallographe car il ne sait pas l'exprimer dans la plupart des cas.
Mais, comme nous ne manquont pas de ressources, nous avons trouvé une solution!
Accrochez-vous à votre souris: nous allons introduire le réseau réciproque.
Si vous n'avez pas compris pourquoi j'insiste sur l'idée que les composantes d'un vecteur exprimées sur une base primitive, sont entières, revenons en arrière.
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