AFC_cristal
Notions sur les rangées réticulaires
Une rangée est une droite qui passe par des noeuds du réseau.
Bien sûr, il en existe une infinité puisque le réseau est infini mais cette infinité est plus petite que celle que vous connaissez en géométrie classique car nous avons uniquement défini les droites qui passent par les noeuds.
Une rangée est définie par ses indices notés entre crochets :
[u v w] où u, v, w sont des nombres entiers. Ces indices sont les composantes d'un vecteur équipollent à la rangée.
Cette définition identifie-t-elle une rangée de façon tout à fait précise ou laisse-t-elle planer une ambiguité ?
- Oui ? Elle définit bien une rangée.
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Copyright Yves Epelboin, Université P.M. Curie, Paris, France, 1979-1996
Oui !
Il existe une infinité de droites parallèles à un même vecteur. On ne définit donc pas une droite par les indices d'une rangée mais un ensemble de droites toutes parallèles entre elles.
Si cette explication vous satisfait, continuez.
S'il vous semble nécessaire de pouvoir définir une droite de façon unique, dans un espace cristallographique, cliquez ici.
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Produit scalaire - suite
Les équations vectorielles des deux vecteurs sont :
et le produit scalaire s'exprime donc :
On peut remplacer les produits scalaires entre les vecteurs de la base par leur expression si on suppose connus les angles qui existent entre ces vecteurs.
Les angles sont repérés de façon standard par la lettre grecque qui correspond au vecteur auquel l'angle est opposé.
Vous aviez trouvé ce résultat et tout est clair ?
- Oui
- Vous vous êtes trompés et il vous faut une explication complémentaire? Continuez.
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Produit vectoriel - plus d'explications
Le produit vectoriel de deux vecteurs A et B peut s'exprimer sous la forme d'un vecteur N tel que :
N est perpendiculaire à A et B donc au plan qu'ils définissent.
Sa longueur est définie par la surface du parallélogramme construit sur A et B:
Dans un repère orthonormé ces règles deviennent très simples. Appellons i, j, k les trois vecteurs de la base:
.
La surface du parallélogramme déterminé par deux de ces vecteurs est égale à l'unité. On voit rapidement que :
Surtout, souvenez-vous que le produit vectoriel n'est pas commutatif
ni associatif
.
Si cela n'est pas encore suffisant, arrétons là.
Sinon, continuez.
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Etourdi(e)!
Vous répondez trop vite. Réécrivez les expressions de a*, b*, c* en utilisant les expressions scalaires.
Avant de cliquer, n'oubliez surtout pas que le produit d'un vecteur direct par un vecteur réciproque n'est plus 1.
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Angles entre rangées
Après la théorie, voici la pratique.
Le réseau orthorhombique est un réseau cristallin où les vecteurs a, b, c de la base sont orthogonaux mais les longueurs sont différentes.
Voulez-vous calculer l'angle qui existe entre les rangées [123] et [321].
Lorsque vous aurez fini, continuez.
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Rangée commune à deux plans réticulaires - suite
Si vous vous souvenez des remarques que nous avons faites sur les symétries des relations qui lient le réseau direct et le réseau réciproque, vous comprendrez que :
où V* est le volume de la maille réciproque.
Les indices de la rangée R sont proportionnels aux quantités qui apparaissent dans les parenthèses du produit vectoriel ; on retrouve très exactement les quantités u, v, w calculées précédemment.
D'un point de vue pratique, il suffit de se souvenir que les indices de la rangée commune aux plans d'indices de Miller (h,k,l) et (h',k',l') correspondent aux mineures associées à la troisième colonne du déterminant :
Exercice:
Calculez les indices de la rangée commune aux plans (123) et (132) puis continuez.
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Indices de Miller - suite
OUI ! Les indices de Miller sont de la forme (0kl) car ce plan est parallèle à l'axe Ox.
De façon générale, un plan est parallèle à un axe du repère lorsque l'indice correspondant est nul.
Ainsi le plan (100) est le plan Oy, Oz.
Le plan (010) correspond à Ox, Oz.
Le plan (001) correspond à Ox, Oy.
Envisageons une base orthogonale et le plan (120).
Sa trace, dans le plan Ox, Oy correspond à :
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Notions sur les plans réticulaires
Il me semble que vous avez compris la notion de rangée. Etudions maintenant la notion de plan réticulaire.
Un plan cristallographique (ou plan réticulaire) est un plan déterminé par les noeuds qu'il contient. On le définit par ses indices de Miller.
Imaginons un plan qui coupe les axes du repère quelconque en trois noeuds du réseau A, B, C.
Les unités choisies sur les trois axes sont a, b et c ; on peut écrire :
OA = x.a
OB = y.b
OC = z.c
Les coordonnées de A sont x,0,0 ; celles de B sont 0,y,0 et celles de C sont 0,0,z.
Si le repère x,y,z est construit sur une maille primitive (j'insiste bien primitive) x,y,z sont-ils entiers ?
- oui ?
- non ?
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Bien sûr !
Les vecteurs de composantes 2,4,2 et 1,2,1 sont tous deux colinéaires à la même droite.
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