AFC_cristal
Recommencez!
Hum! Êtes-vous vraiment en train d'étudier les bases de la cristallographie géométrique ? Revenez au départ et réfléchissez bien !!!
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Copyright Yves Epelboin, Université P.M. Curie, Paris, France, 1979-1996
Produit scalaire - suite
Vous vous souvenez certainement de la définition suivante du produit scalaire de deux vecteurs 
:
Cette écriture sous-entend que le repère sur lequel les vecteurs sont exprimés est orthonormé ! Cela signifie :
- que le repère est orthogonal.
Si on développe le produit scalaire sur la base a, b, c il se simplifie puisque
Le produit scalaire se réduit donc à
- que le repère est normé.
Si le repère est normé les longueurs des vecteurs de la base sont toutes égales et prises comme unité, donc
et
Vous avez maintenant compris votre erreur ?
- Oui ?
- Non ?
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Produit vectoriel - résultat du calcul
Si la base est quelconque, il n'est pas évident d'exprimer le vecteur résultant sur la base a, b, c. et le produit vectoriel devient donc très difficile à calculer.
De plus, en cristallographie, nous ne nous intéressons qu'aux vecteurs qui pointent sur les noeuds du réseau, c'est à dire à ceux dont les composantes sont entières lorsqu'on les exprime dans une maille primitive.
A priori, le résultat du calcul 
n'a aucune chance de donner un vecteur de coordonnées entières donc le résultat n'exprime pas un vecteur de l'espace cristallographique.
Si nous revenons au résultat trouvé pour ce même exercice lorsque la base est orthogonale, nous avions trouvé :
Ce vecteur, bien que nous connaissions son expression sur la base a, b, c, n'appartient pas non plus à l'espace cristallographique, car ses composantes ne sont pas entières. Le produit vectoriel ne semble donc offrir aucun intérêt pour le cristallographe car il ne sait pas l'exprimer dans la plupart des cas.
Mais, comme nous ne manquont pas de ressources, nous avons trouvé une solution!
Accrochez-vous à votre souris: nous allons introduire le réseau réciproque.
Si vous n'avez pas compris pourquoi j'insiste sur l'idée que les composantes d'un vecteur exprimées sur une base primitive, sont entières, revenons en arrière.
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Quelques rappels
Tout d'abord, vérifions que vous avez bien assimilé les définitions du réseau réciproque.
Construisez le réseau réciproque associé au réseau hexagonal.
Souvenez-vous des relations scalaires et vectorielles, qui lient les deux réseaux direct et réciproque.
Le cas échéant, si la mémoire vous fait défaut, revenez sur vos pas.
Le plan a*, b* est-il confondu avec le plan a,b?
- Oui ?
- Non ?
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C'est la fin!
Vous voici à la fin de ce cours.
J'espère que vous avez compris les éléments essentiels du calcul en cristallographie. Cependant d'autres exercices seront nécessaires pour parfaire vos connaissances.
Vos remarques seront les bienvenues pour améliorer et enrichir ce cours.
Vous seriez gentil de les adresser à l'AFC ici.
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Rangées, normales....
Le dessin ci-dessous indique, dans les plans de base a,b (001) la trace du plan (1 -1 0) marquée T et la rangée [1 -1 0] marquée R.
La normale au plan est indiquée par N.
1) - On remarque que R et N, contenus dans les plans (001), ne sont pas colinéaires.
donc α = 60 degrés et β = 30 deg..
Si on examine attentivement les différents rectangles, on voit que l'angle entre R et N est:
Donc, la normale à un plan n'est pas, en général, la rangée qui a pour indices les indices de Miller du plan.
Avez-vous trouvé la bonne solution ?
Si oui continuez; si vous avez seulement fait une faute de calcul, revoyez vos tables trigonométriques et continuez également!
Si vous avez mal orienté la rangée, retournez en arrière.
Vous êtes-vous trompé dans les indices du plan ? Revoyons ensemble les indices de Miller.
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Introduction
Ce cours suppose acquises quelques bases de cristallographie ; il a été conçu pour des étudiants qui auraient lu auparavant le cours programmé de Schenk, par exemple, afin d'être déjà familiarisés avec le vocabulaire.
Et maintenant, tournez la page !
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Normale à un plan
Nous allons maintenant envisager des utilisations du réseau réciproque.
Nous avons vu qu'une rangée d'indices [h,k,l] n'est pas, en général, perpendiculaire au plan d'indices de Miller (h,k,l).
Maintenant exprimons l'équation d'une rangée du réseau réciproque :
N = ha* + kb* + lc*
et imaginons que le réseau direct et le réseau réciproque soient tracés à partir de la même origine. Tracons une rangée R de ce réseau.
Si tracer les deux réseaux à partir de la même origine vous trouble, retournez en arrière. Pour revenir directement ici, utilisez la touche back de votre fureteur.
Eventuellement, revoyez aussi le dessin des réseaux direct et réciproque hexagonaux.
Soit M un noeud du réseau direct: il est l'extrémité du vecteur OM d'équation:
R = ua + vb + wc
Imaginons que M pointe successivement surtous les noeuds d'un plan P perpendiculaire à N. Ce plan est défini dans le réseau direct puisque OM est un vecteur de ce réseau. La projection de tous les vecteurs OM sur la normale au plan P tracée à partir de O, qui est N, est constante et égale à OQ.
On peut donc écrire : OM.N = OQ.N.
Soit :
OM.ON = (ua + vb + wc).(ha* + kb* + lc*)
OM.ON = hu + kv + lw
Si ce résultat vous étonne, revoyez la définition du réseau réciproque.
Supposons que le réseau soit primitif ; alors h,k,l, d'une part, u,v,w d'autre part, sont entiers et:
hu + kv + lw = K
où K est entier.
Ceci est l'équation du plan d'indices de Miller (h,k,l).
Donc, la normale au plan d'indices de Miller (h,k,l) est la rangée réciproque de composantes [h,k,l]*.
Comment calculer la distance entre plans successifs d'une même famille ?
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Rangées - suite
Construisez un réseau quelconque à trois dimensions, en appelant O l'origine.
Affecter les lettres A, B, C, D,E aux noeuds de coordonnées : 100, 010, 001, 111, 222.
Calculer les indices de la rangée OD puis ceux de la rangée OE.
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Produit scalaire - définition
Il est nécessaire que nous revenions à la définition même du produit scalaire :
Soient deux vecteurs M et N; par définition leur produit scalaire est :
où
, 
sont les normes des vecteurs M et N et α l'angle qui existe entre eux.
En particulier, on définit la norme de chacun des vecteurs par :
On peut encore dire que le produit scalaire du vecteur M par le vecteur N est égal au produit de la norme de M par la projection de N sur ce vecteur ... ou l'inverse, si vous préférez !
Cela vous suffit-il ?
- Oui ?
- Non ?
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