AFC_cristalRangées - ambiguitées
Un cristal contient des millions et des millions d'atomes, donc une quantité vertigineuse de droites (ou rangées) toutes parallèles entre elle. Cela n'aurait donc aucun sens physique de vouloir en discerner une ! Les propriétés physiques auxquelles la cristallographie et la physique du solide s'intéressent, sont liées aux orientations mais pas à la position d'un groupement particulier d'atomes ou d'une rangée précise dans le cristal.
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Copyright Yves Epelboin, Université P.M. Curie, Paris, France, 1979-1996
Produit scalaire dans un réseau hexagonal
Un réseau hexagonal est défini de la façon suivante :
a = b, c
Si vous ne vous souvenez plus de ces notations, révisez les.
Calculez l'angle entre les rangées [135] et [111].
Cliquez ici lorsque vous aurez trouvé la solution.
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Attention !
J'ai bien peur que vous n'ayez commencé à apprendre la cristallographie par le milieu !
Ce cours suppose que l'on ait déjà des notions élémentaires sur les réseaux et les symétries.
Il serait plus sage d'arréter ici et d'étudier d'abord les notions debase sur les réseaux cristallins. Si ce cours se révèle intéressant pour les étudiants, j'envisagerai de développer cette partie.
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Le réseau réciproque hexagonal - suite
est perpendiculaire au plan b, c.
Comme 
est contenu dans le plan a, b. De même pour b*
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Angle entre deux plans (système hexagonal)
cos φ = 0.87
φ = 29 degrés 37'
Résolvez maintenant le problème suivant:
Considérons un réseau orthorhombique (a, b et c sont différents et les angles sont ous droits). Calculez l'angle entre les plans (011) et (0 -1 1), sachant que c/b = 1,5.
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Maille multiple (à propos de ...)
Les nombres x, y, z peuvent effectivement être fractionnaires car une maille multiple contient des noeuds de coordonnées fractionnaires.
Si la raison pour laquelle vous êtes venu ici est autre, approfondissez cette question en cliquant ici.
Est-ce que le plan déterminé par les indices de Miller (hkl) est unique ?
- Oui ?
- Non ?
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Erreur!
NON ! Les deux plans ont mêmes indices de Miller car (111) et (222) sont proportionnels et nous avons vu que nous déterminions une famille de plans parallèles sans nous préoccuper d'un plan, en particulier.
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Produit scalaire
Nous allons maintenant envisager la notion de produit scalaire, dans l'espace cristallographique.
Très rapidement vous vous apercevrez si vos notions sont suffisantes, mais ne négligez pas cette question ; nombreux sont ceux qui se laissent prendre par ces notions simples.
Soit un réseau quelconque défini sur une base vectorielle sans aucune caractéristique particulière : nous appellerons a, b, c les vecteurs de cette base. Soient deux vecteurs:
.
Calculez leur produit scalaire.
Après avoir fait le calcul, cliquez ici.
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Angle entre plans réticulaires
En cristallographie on définit l'angle entre deux plans par l'angle de leurs normales, c'est-à-dire que l'on calcule l'angle entre deux rangées du réseau réciproque.
Soient deux plans d'indices de Miller (h,k,l) et h',k'l').
Les équations de leurs normales respectives sont :
On calcule alors l'angle de ces rangées comme vous avez déjà appris à le faire. La seule différence est que maintenant ce calcul s'efféctue dans le réseau réciproque.
Donc,
Pour terminer le calcul, il faut exprimer les produits scalaires entre vecteurs de la base réciproque, c'est à dire connaitre leurs normes et les angles qu'ils déterminent. Vous avez déjà appris à le faire.
Application :
Etablissez la formule qui donne l'angle entre deux plans dans un réseau hexgonal.
Si vous ne savez plus calculer les normes ni les angles entre vecteurs de la base réciproque hexagonale, rafraichissez vous la mémoire.
Lorsque vous aurez effectué ce calcul et résolu ce problème, continuez.
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Rangées - suite
Le vecteur OD, colinéaire à la rangée OD a pour composantes [111], le vecteur OF a pour composantes [222] mais ils sont supportés par une même droite. Il s'agit donc de la même rangée.
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