AFC_cristal
Angle entre plans réticulaires dans un réseau hexagonal
Dans un réseau hexagonal les vecteurs réciproques s'expriment de la façon suivante :
a* et c* sont contenus dans le plan (001).
c* est colinéaire à c.
Si vous ne comprenez pas ceci , revoyez l'explication complète.
Calculons la norme de chacune des normales N et N'.
La norme de N' s'obtient en ajoutant le symbole ' derrière chaque indice.
Calculons leur produit scalaire :
Donc :
Supposons que a/c = 0,65.
Calculez l'angle entre les plans (101) et (111).
- Il est supérieur à 90 degrés.
- Il est inférieur à à 90degrés.
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Copyright Yves Epelboin, Université P.M. Curie, Paris, France, 1979-1996
Notions sur les plans réticulaires
Il me semble que vous avez compris la notion de rangée. Etudions maintenant la notion de plan réticulaire.
Un plan cristallographique (ou plan réticulaire) est un plan déterminé par les noeuds qu'il contient. On le définit par ses indices de Miller.
Imaginons un plan qui coupe les axes du repère quelconque en trois noeuds du réseau A, B, C.
Les unités choisies sur les trois axes sont a, b et c ; on peut écrire :
OA = x.a
OB = y.b
OC = z.c
Les coordonnées de A sont x,0,0 ; celles de B sont 0,y,0 et celles de C sont 0,0,z.
Si le repère x,y,z est construit sur une maille primitive (j'insiste bien primitive) x,y,z sont-ils entiers ?
- oui ?
- non ?
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Bien sûr !
Les vecteurs de composantes 2,4,2 et 1,2,1 sont tous deux colinéaires à la même droite.
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Angle entre vecteurs
Le vecteur V colinéaire à la rangée [123] s'exprime par l'équation vectorielle :
.
De même le vecteur V' colinéaire à [321] s'écrit :
.
Pour calculer l'angle qui existe entre ces deux vecteurs, nous allons calculer leur produit scalaire de deux manières différentes :
1) - Directement :
Si vous ne comprenez pas ce calcul, cliquez ici.
2) - Indirectement, à partir de la définition même du produit scalaire :
où φ est l'angle qui existe entre ces deux vecteurs.
Vous ne comprenez pas? Cliquez ici, sinon continuez :
= 
Donc l'angle qui existe entre les deux vecteurs est :
Si tout n'est pas parfaitement clair, retournez en arrière.
Sinon, nous continuons
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Calcul avec les produits vectoriels
L'équation vectorielle du vecteur [110] s'écrit :
Celle du vecteur [111] est
Rappelez-vous que le produit vectoriel d'un vecteur par un autre vecteur qui lui est colinéaire est nul.
est perpendiculaire à a et à c, donc colinéaire à b. Sa longueur est égale à la surface de dimension ac.
Donc
Les normes de a et b apparaissent au dénominateur car ni a ni b ne sont unitaires. Donc :
Si vous avez des difficultés, retournez en arrière, sinon, résolvez le problème suivant :
Calculez le produit vectoriel entre [110] et [111] lorsque la base vectorielle est absolument quelconque, c'est-à-dire ni normée ni orthogonale ;
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Exact
Encore faut-il le démontrer.
De même pour b* et c*. Comme le volume de la maille est le produit mixte des vecteurs de la base et que ceux-ci sont σ2 fois plus long qu'auparavant :
Le réseau réciproque vous semble peut-être une construction purement théorique. Je vais vous montrer qu'il est d'une grande utilité dans les calculs cristallographiques.
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Distance entre plans réticulaires dans un réseau hexagonal
Tout d'abord, souvenez vous des caractèristiques du réseau réciproque hexagonal:
Donc
Les autres termes sont nuls car : cos α* = cos β* = 0
donc:
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Rangée commune à deux plans réticulaires (fin)
u = 2x2 - 3x3 = -5
v = 3x1 - 1x2 = 1
w = -1x2 + 3x1 = 1
Donc, R, la rangée recherchée, a pour indices [-511] ou [5-1-1], ce qui revient au même.
Attention ! Si les trois nombres obtenus n'avaient pas été premiers entre eux, il aurait fallu les diviser par leur plus grand commun diviseur.
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Indices de Miller - suite
Vraiment la cristallographie ne vous inspire pas ! Vous tenez vraiment trop à votre origine. Il me semble que vous devriez reprendre à sa base.
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Plan du cours
Vous pouvez parcourir ce cours depuis le début, ce que je vous conseille, ou accéder directement aux notions essentielles. Je pense que ce deuxième usage devrait être réservé à des révisions uniquement, jamais à un premier usage.
- Introduction
- Début
- Produit scalaire
- Produit vectoriel
- Réseau réciproque
- Notions sur les rangées réticulaires
- Notions sur les plans réticulaires
- Angle entre plans
- Rangée commune à deux plans
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