AFC_cristal
Angle entre plans réticulaires dans un réseau hexagonal
Dans un réseau hexagonal les vecteurs réciproques s'expriment de la façon suivante :
a* et c* sont contenus dans le plan (001).
c* est colinéaire à c.
Si vous ne comprenez pas ceci , revoyez l'explication complète.
Calculons la norme de chacune des normales N et N'.
La norme de N' s'obtient en ajoutant le symbole ' derrière chaque indice.
Calculons leur produit scalaire :
Donc :
Supposons que a/c = 0,65.
Calculez l'angle entre les plans (101) et (111).
- Il est supérieur à 90 degrés.
- Il est inférieur à à 90degrés.
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Copyright Yves Epelboin, Université P.M. Curie, Paris, France, 1979-1996
Le réseau réciproque
Soient a, b, c les trois vecteurs qui définissent une base absolument quelconque.
Nous allons définir la base d'un nouvel espace vectoriel, en introduisant les relations suivantes entre les vecteurs de la base a, b, c et ceux de la nouvelle a*, b*, c*.
Le réseau construit sur la base a*, b*, c* s'appelle le réseau réciproque.
Lorsqu'on examine ces relations scalaires , celle qui définit a* par exemple, on constate que ce vecteur est perpendiculaire à b et à c.
Remarquez que les unités de mesure sont inverses dans les deux repères: si on exprime les longueurs en angströms, par exemple, dans le réseau direct, l'unité de mesure sera l'inverse, c'est à dire des angströms-1, dans le réseau réciproque.
Cette dualité des deux réseaux n'est pas évidente à appréhender et nous la découvrirons progressivement dans la suite de ce cours.
On peut montrer que :
où (a, b, c) est le produit mixte de ces trois vecteurs, c'est-à-dire le volume de la maille directe.
Calculez vous même les expressions de b* et c*.
Vous devez trouver des expressions de la forme de celle que nous venons d'écrire pour a*. Pour effectuer ce calcul utilisez les produits scalaires définis ci-dessus aussi bien pour déterminer l'orientation des vecteurs que leur norme.
Ensuite trouvez les expressions de a, b, c en fonction des vecteurs de base du réseau réciproque.
Le calcul va vous prendre quelque temps.
...... Bonne chance !
Vous avez résolu le problème que je viens de vous poser ?
Quelle que soit votre réponse, cliquez ici.
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Copyright Yves Epelboin, Université P.M. Curie, Paris, France, 1979-1996
NOOOON !
Réfléchissez !
Définir une droite par les composantes d'un vecteur est insuffisant. Il faudrait de plus définir l'origine du vecteur pour l'identifier complètement. En réalité les indices d'une rangée définissent une famille de droites, toutes parallèles entre elles.
Les rangées [242] et [121] sont-elles :
- identiques ?
- différentes ?
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Rangées - indices d'une rangée
Les indices de la rangée BF sont ceux d'un vecteur colinéaire, BF, par exemple.
Or, BF = OF - OB, donc les composantes recherchées sont: -1 -1 -1, ce qui est équivalent à la rangée [111] déjà étudiée.
Comme nous nous intéressons aux familles de rangées, c'est-à-dire à des droites parallèles entre elles, le vecteur colinéaire qui détermine la rangée ne nous intéresse qu'au point de vue de son orientation ; sa longueur n'a aucune importance ni son origine et nous choisirons toujours les indices d'une rangée de façon qu'ils soient premiers entre eux.
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Produit vectoriel (généralisation)
La notion de produit vectoriel est moins évidente lorsque on utilise des bases vectorielles non normées.
Par exemple, envisageons une base orthorhombique:
Voulez-vous calculer le produit vectoriel entre les vecteurs [110] et [111] ?
Cliquez ici après avoir fait le calcul.
Ne trichez pas!
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Et encore et toujours le réseau réciproque
Celui de la maille réciproque est : 
Exprimons ces trois vecteurs en utilisant les produits vectoriels qui les lient aux vecteurs du réseau direct:
Les volumes des mailles directe et réciproque sont inverses l'un de l'autre.
Certains physiciens définissent le réseau réciproque avec des relations légèrement différentes :
On introduit donc une constante différente de l'unité ; par exemple, en Physique du Solide:
σ2 = 2π .
En utilisant cette nouvelle définition, réécrivez les expressions vectorielles de a*, b*, c* en fonction de a, b, c puis la relation entre V et V*.
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Rappel sur les réseaux
Vous devriez peut-être revoir votre cours de cristallographie à l'endroit où l'on définit les réseaux (cette notion n'est pas encore incluse dans ce cours).
Si le plan réticulaire coupe l'axe x au point A, et si le réseau est construit sur trois translations parmi les plus courtes, non coplanaires, alors le point A qui est contenu dans le plan réticulaire mais aussi dans la rangée OA, est forcément un noeud du réseau. Comme le réseau est primitif OA est un nombre entier de fois la translation unitaire a.
OA = x.a donc x est entier.
Le raisonnement est le même pour y et z.
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Rangée commune à deux plans réticulaires
Utilisons w comme inconnue auxiliaire et calculons u et v :
Posons : 
Les indices de la rangée commune aux deux plans sont donc:
2) Nous allons expliquer maintenant une deuxième méthode pour déterminer les indices de la rangée R.
La rangée recherchée R est perpendiculaire aux normales N et N' aux deux plans. Elle est donc parallèle au produit vectoriel de ces deux vecteurs. Il suffit donc d'exprimer ce produit vectoriel pour trouver les indices de la rangée recherchée.
Remarquons une très jolie astuce:
N et N' sont des vecteurs de l'espace réciproque. Leur produit vectoriel est un vecteur de l'espace direct en vertu des relations vectorielles qui expriment les vecteurs directs en fonction des vecteurs réciproques. Ceci est cohérent puisque la rangée R est l'intersection de deux plans directs.
Calculez ce produit vectoriel .
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Indices de Miller - suite
Vous n'avez pas encore vraiment saisi la notion d'indices de Miller : ils sont inversement proportionnels aux distances auxquelles un plan de cete famille coupe les axes cristallographiques. Donc, si ce plan est parallèle à un axe, comme il le coupe à l'infini, l'inverse de cette distance est nul et l'indice de Miller correspondant est 0.
Vous sentez-vous maintenant éclairé ?
Oui ?
Non ?
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Copyright Yves Epelboin, Université P.M. Curie, Paris, France, 1979-1996
Plans réticulaires...
Mais non ! Il existe la même ambiguïté que pour les rangées : imaginez un plan parallèle à ABC qui coupe aussi les axes cristallographiques, mais en des noeuds de coordonnées x', y', z'.
Alors : x/x' = y/y' = z/z'. Si on calcule les inverses de x', y', z' : 1/x', 1/y', 1/z'.
Ils seront donc proportionnels entre eux et, si on les multiplie par leur plus petit commun multiple, on obtiendra les même nombres h,k,l.
Les indices de Miller de ce plan sont donc les mêmes que ceux de ABC et (hkl) caractérise une famille de plans parallèles entre eux.
Etes-vous vraiment chagriné de ne pas pouvoir déterminer un plan de façon unique ? Allez donc vous consoler!
Continuez si vous êtes un esprit heureux et sans problème.
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