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Trois démarches intellectuelles se sont alors développées et chacune a donné naissance à un domaine des quasicristaux. C’est l’idée qu’on trouve dans l’article (2): le quasicristal y est assimilé à une structure désordonnée faite d’accolements par les arêtes d’icosaèdres Al12Mn tous identiques et de même orientation. Cette idée va conduire aux modèles de pavages aléatoires où l’on remplit l’espace avec deux ou plusieurs pavés prototypes en les distribuant au hasard sous la contrainte géométrique forte que les pavés adjacents s’emboitent exactement sans interstices ni recouvrements (“random tiling”). On montrera quelques années plus tard de façon rigoureuse en effet que ce modèle, compte tenu des contraintes géométriques susdites et sous certaines conditions de comportement à l’infini des fluctuations, donne bien un spectre de diffraction remarquablement ponctué accompagné d’un fond diffus concentré aux pieds des pics. Cette approche met en relief l’aspect entropique des structures quasipériodiques.

La seconde démarche consiste à accepter le caractère ponctué du spectre de diffraction mais en relaxant la condition de symétrie quinaire exacte. De même qu’on peut approcher les nombres irrationnels par des nombres décimaux à une erreur finie près, on peut indexer les pics de Bragg en utilisant des indices rationels suffisament élevés pour les faire coincider aux positions observées dans la limite de précision des mesures. Le quasicristal est alors un cristal de maille gigantesque, tendant vers l’infini mais où, finalement, la périodicité devient une propriété faible devant la description du motif qui, lui, contient les caracteristiques géométriques essentielles du solide.

La troisième démarche, explicitement proposée dans (3) et suggérée dans (1), consiste à tenir compte ensemble de la symétrie quinaire ET du caractère ponctué du spectre de diffraction. La solution est la quasipériodicité. Outre le modèle initial de D. Levine et P. Steinhardt construit à partir de séquences de cosinus d’arguments entiers, trois articles séminaux indépendants respectivement par M. Duneau et A. Katz (4), V. Elser(5), et P. Kalugin, A. Kitaev et L. Levitov (6) vont apporter une réponse lumineuse à notre apparent paradoxe. Une structure quasipériodique de dimension d peut être assimilée à une coupe irrationnelle d’une structure virtuelle périodique dans un espace de dimension N>d. Cette construction Pour les phases icosaédriques on recouvre la périodicité en utilisant deux dimensions par direction de l’espace soit un espace de dimension N= 6 (3x2). Dans ce contexte, la figure de diffraction “paradoxale” de Shechtman est la projection dans notre espace de la diffraction d’un objet périodique de dimension 6. Un article de P. Bak (7) et les articles de synthèse de A. Janner et T. Janssen (8,9) vont rapidement faire le lien avec les concepts bien connus en cristallographie de supergroupe d’espace utilisés pour les phases incommensurables. Par rapport à ces dernières, les nouveaux venus ont cette particularité de faire intervenir de plus grandes co-dimensionnalités (ordinairement une ou deux pour les phases incommensurables) mais aussi et surtout de présenter des symétries plus grandes et/ou hors les canons de la cristallographie tridimensionnelle.

Cette approche N-dimensionnelle présente le mérite de rassembler toutes les précédentes dans un unique cadre: en changeant légèrement la coupe selon une orientation rationnelle voisine de celle du quasicristal, on engendre des cristaux à grande maille, qu’on appelle des “approximants” et en effectuant une coupe selon une orientation variable localement mais définissant une surface continue dans le grand espace on obtient les modèles dits de “random tiling”, témoin de la partie entropique de l’énergie libre du système, la coupe linéaire exacte correspondant à une structure parfaite état fondamental témoin du terme énergie interne du système.

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Figure 3 - Simulation d’une image de Microscopie électronique haute résolution d’une structure icosaédrique à l’échelle atomique (programme ICO, D. Gratias et M. Quiquandon)